如果某个集合的基数是a，则如此定义的基数满足|x|=|y|，当且仅当x≈y.定义1是由美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼(vonNeumann，J.)于1928年引入的；定义2则是上述弗雷格与罗素思想的翻版。如果存在从集合x到y的单射，则定义|x|≤|y|。如果|x|≤|y|且|y|≤|x|，则|x|=|y|。这就是著名的康托尔-伯恩施坦定理。对于任意的集合x和y，有|x|≤|y|或者|y|≤|x|，当且仅当选择公理成立。可良序化的集合的基数称为良序基数。每一个良序基数都是序数。因此，若设定某一选择公理，则每一个基数都是序数。对任意的序数α，存在大于α的最小良序基数，记为α。由此可见，所有的良序基数构成序数全域的一个无界的子类，即为真类。因此，可以定义一个从序数全域到所有无穷良序基数构成的真类上的保序映射，使得?αβ((α)(β))，式中读做“阿列夫”。还常用α代替(α)，表示第α个无穷良序基数，用ωα表示Nα的序型，故N0=ω0=ω，Nα+1=ωα+1=Nα。若α为极限序数，则Nα=ωα=sup{ωρ|ρ∈α}。Nα是极限基数，当且仅当α是极限序数。
本书不可达基数＝无限1a